最佳接收误码性能分析

我们基于“最小均分误差准则”来分析最佳接收机的误码率。假设发的是 \(s_1(t)\)，在接收端受到了高斯噪声的影响，变成了 \(r(t) = s_1(t) + n(t)\)。此时，如果 接收端发现 \(r(t) - s_1(t) = n(t)\) 的均方误差大于 \(s_1(t) + n(t) - s_2(t)\) 的均方误差，就会根据“最小均分误差准则”，将信号判断为 \(s_2(t)\)，这就出现了错误。所以我们需要求出这个概率。它就是误码率。

通过数学变换，我们得到下面的误码率公式：

如上图所示，误码率取决于三个量：能量（\(s_1(t)\) 和 \(s_2(t)\) 的能量，用 \(E_1\) 和 \(E_2\) 表示）、噪声功率谱密度 \(n_0\) 和两个发送信号的相关系数 \(\rho\)。

而且，上式中的 \(\sqrt{E_1 + E_2 - 2 \rho_{12} \sqrt{E_1 E_2}}\) 就是两个信号的距离的平方。这说明误码率取决于两个信号的距离。

请大家牢记，并能灵活运用上面的误码率公式。它极为重要。这是因为它揭示了各种数字通信系统在最佳接收时的误码率，包括各种基带、频带数字通信系统。因为数字通信系统是最重要的通信系统，由误码率表示的系统可靠性又是我们研究通信系统的重点，所以，它非常重要。

基于这个式子，我们能够得到各种二元数字通信系统在最佳接收时的误码率，比如 ASK、FSK、PSK。比较它们的误码率，我们发现，在相同误码率的情况下，ASK、FSK、PSK 的信号的符号能量，是 4:2:1。因为 10*log2 = 3dB，所以，我们说它们分别有 3dB 的功率增益。

我们最后比较相干接收和最佳接收的误码性能。相干接收的信噪比为

\(\gamma = \frac{S}{N} = \frac{S}{n_0 B}\)，

最佳接收的

\(\frac{E_b}{n_0} = \frac{S T_b}{n_0}\)，

因此，我们有：

对 PSK、FSK，我们都有噪声带宽 \(B = 2 \frac{1}{T_b}\)，所以，\(T_b B = 2\)。所以，最佳接收的误码率比相干接收的误码率低。

基于上式，我们也可以很方便地进行 PSK 和 FSK 调制方式的 \(\frac{E_b}{n_0}\) 和 \(\gamma\) 的换算。请通过 PPT 中的例题进行体会。

下面是 Quiz：

1. 写出二元信号误码率的数学公式，说明每一个符号的物理意义
2. 上述误码率公式，只适用于数字频带传输系统，不适用于数字基带传输系统，这一说法对吗？为什么？
3. 如何用二元信号误码率的数学公式，分析单极性基带信号的误码率？
4. 如何用二元信号误码率的数学公式，分析双极性基带信号的误码率？
5. 如何用二元信号误码率的数学公式，分析 ASK 信号的误码率？
6. 如何用二元信号误码率的数学公式，分析 PSK 信号的误码率？
7. 如何用二元信号误码率的数学公式，分析 FSK 信号的误码率？
8. 根据二元信号误码率的数学公式，如何分析相关系数对误码率的影响？
9. 解释二元信号误码率数学公式中的 \(E_b/n_0\) 的物理意义
10. 为什么说 2PSK, 2FSK, 2ASK 性能依次好 3dB？
11. 画出 MSK 的信号星座图，基于该图，简述其工作方式
12. 画出 MSK 相关接收的系统框图，简述每一个模块的作用
13. 画出 MSK 不差分时的相关接收系统框图，简述每一个模块的作用
14. 如何分析 MSK 不差分时的误比特率？
15. 以 2PSK 为例，如何比较相干接收和最佳接收的性能？简述其过程和结果。
16. 推导 2PSK 时，\(E_b/n_0\) 与信噪比 \(\gamma\) 的关系。FSK 呢？