匹配滤波器

有了相关接收机,我们就离“用滤波器实现最佳接收机”不远了。为什么这么说呢?让我们看看相关的数学表达式,它是不是可以用一个 \(h(t)\) 的滤波器实现?可以吧?我们知道,信号 \(r(t)\) 经过一个冲击响应为 \(h(t)\) 的滤波器,输出信号就相当于 \(r(t)\) 和 \(h(t)\) 的卷积,即把 \(h(t)\) 翻转、平移后,和 \(r(t)\) 做相关,对不对?所以,如果 \(h(t)\) 翻转、平移后,就是 s(t),那么,我们是不是就实现“相关接收机”了?

循着这个思路,我们建立“用滤波器实现最佳接收机”的理论模型。首先,我们定义什么是“最佳”。因为我们现在在信号与系统的框架下分析这个问题,所以,我们定义一个“最佳”指标是“最大瞬时输出信噪比”,即:我们在取样判决的这个“瞬时”,接收机的输出信噪比最大。

我们在频域上进行分析。我们首先将信号功率和噪声功率都写成 \(S(f)\) 和 \(H(f)\) 的形式,获得目标函数:信号功率在取样时刻的瞬时值和噪声平均功率的比值。确定优化目标是让这个值最大。我们然后利用施瓦茨不等式的极值条件,获得让目标函数最大的 \(H(f)\)。我们最后对 \(H(f)\) 做傅立叶反变换,就得到了滤波器的冲激函数 \(h(t)\)。它的形式如下:

\[h(t) = s(t_0 - t)\]

上式表明:让接收机采样时刻输出瞬时信噪比最大的滤波器的冲激响应函数,就是 \(s(t)\) 的反转,然后平移。平移的距离,正好是它的取样时刻。

我们将具有这种 \(h(t)\) 的接收滤波器,称为“匹配滤波器”,因为它和 \(s(t)\) “匹配”。

那么,基于匹配滤波器的接收机是不是最佳接收机呢?基于 \(h(t) = s(t_0 - t)\),我们写出它们的输出的数学形式,就会发现它们是等价的。所以,基于匹配滤波器的接收机就是最佳接收机。所以,我们现在就证明了:以下三个准则的接收机,是等价的:

  1. 符合 MAP 准则的“理想接收机”
  2. 符合 ML 准则(在加性高斯噪声的前提下,被称为“最小距离准则”,“最小均方误差准则”)的“相关接收机”
  3. 符号“最大输出信噪比准则”的“匹配滤波器”接收机。

注意,“最小距离准则”,“最小均方误差准则”是 ML 准则的一种形式。它们自己不是独立的一种准则哦。

我们接着做 \(h(t)\) 和 \(s(t)\) 的卷积,就能发现,它的输出,就是 \(s(t)\) 的自相关函数的平移。平移的距离,也是它的取样时刻。大家知道,自相关函数在 \(t = 0\) 时是最大的,因此,这个输出,确实是在取样时刻取最大值。

那么这个取样时刻的瞬时信噪比到底多大呢?我们在频域对它进行计算,就能得到,它等于一个特别简单的值:

\[\frac{2E}{n_0}\]

上式中的 \(E\) 是 \(s(t)\) 信号在它的一个符号周期内的能量。

请大家一定要掌握上面这个式子。它极为重要。为什么呢?有两个原因:首先,它反映了我们特别关心的数字通信系统的“可靠性”。其次,它“通用”。大家看,我们一路推导下来,没有对 \(s(t)\) 做任何限定,对吧?所以,它对我们前面学过的所有数字通信系统都适用:各种基带、频带系统。因此,对任何数字通信系统,我们就把它的符号能量算一下,就可以用这个式子,得到它的最佳接收机的输出时的瞬时信噪比。所以,请大家一定要牢记它。

那么,这个取样时间的长度,也就是说:\(s(t)\) 反转后,平移的长度,怎么确定呢?首先,\(s(t)\) 反转,平移后,就得到 \(h(t)\)。因为 \(h(t)\) 得是物理可实现的,所以,我们得移动得让它在 \(t < 0\) 时 \(h(t) = 0\)。其次,因为我们要在这个时刻采样,因此,它越小越好,这样我们在接收端就能尽早完成接收的工作,减少通信延时。基于这两个原则,我们就能获得给定 \(s(t)\) 的取样时间长度。详见课程 PPT,并请认真完成 PPT 里的练习。

我们也要能够画出匹配滤波接收机的工作原理图。详见 PPT 里的例题。

下面是 Quiz:

  1. 什么是最大输出信噪比准则?
  2. 什么是匹配滤波器法最佳接收机?画出其框图,并解释每一个模块的作用。
  3. 写出匹配滤波器在抽样时刻 \(t_0\) 时的输出信号瞬时功率与噪声功率的数学表达式,解释其物理意义
  4. 匹配滤波器在抽样时刻 \(t_0\) 时的输出信号瞬时功率与噪声功率的比值,在什么情况下能够取得最大值?该最大值是多少?
  5. 匹配滤波器的冲激响应函数 \(h(t)\) 和发送信号 \(s(t)\) 是什么关系?
  6. \(t_0\) 如何确定?这样有什么好处?
  7. 匹配滤波器的输入信号为 \(s(t)\) 时,输出信号和 \(s(t)\) 的自相关函数是什么关系?该输出信号在 \(t_0 = T_s\) 时,是什么值?该值的物理意义是?
  8. 为什么说匹配滤波器接收机等价于相关接收机?
  9. 为什么说匹配滤波器接收机是最佳接收机?
  10. 匹配滤波器最佳接收机只适用于数字频带传输系统,不适用于数字基带传输系统,这一说法对吗?为什么?
  11. 请写出匹配滤波器接收机的框图,解释每一个模块的作用。
  12. 请画出M进制匹配滤波器接收机的框图,并解释每一个模块的作用。
  13. 匹配滤波器也可以匹配正交数字调制系统的基信号,请画出这种匹配滤波器接收机的框图,并解释每一个模块的作用。


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