相关接收机

最小信号距离准则

有了的“信号空间”和“信号矢量”的准备，我们就可以在数学的层面，进行“最佳接收机“的讨论了。

以“正交载波调制”信号为例，它有两个基信号。考虑两个信号点 \(s_0\) 和 \(s_1\)。它们被表示为两个 2 维的信号矢量。我们首先把噪声投影到它的基信号张成的信号空间上。这个信号空间是一个 2 维平面。

我们下面根据 ML 准则，实现一个接收信号 r 的最佳接收。根据 ML 准则，我们会比较 \(P(r \mid s_0)\) 和 \(P(r \mid s_1)\)。那么，假设加性高斯噪声，我们得到 \(P(r \mid s)\) 是以 s 为均值的 2 维高斯分布。此时，比较 \(P(r \mid s_0)\) 和 \(P(r \mid s_1)\)，就相当于比较接收信号矢量 \(r\) 和 \(s_0\)/\(s_1\) 矢量的欧式距离。\(r\) 离 \(s_0\) 的距离小，就推断发送端发的是 \(s_0\)，否则就推断发的是 \(s_1\)。这就是“最小信号距离准则”。

计算两个信号向量的欧式距离，不太好用传统的通信电子线路的方式实现。如果我们想用电子电路实现最佳接收机的话，我们希望用“滤波器”来实现。这怎么办呢？我们下面接着探索。

相关接收机

首先，因为两个信号的波形的“距离”，即两个信号的波形的差别的平方的积分，等于这两个信号的信号矢量的“欧式距离”，所以，“最小信号距离准则”就等价于两个信号的波形的差别的平方的积分最小。所以，我们下面来比较两个 \(s(t)\) 和 \(r(t)\) 的波形差别的平方的积分。

将两个 \(s(t)\) 和 \(r(t)\) 的波形差别的平方的积分展开，我们会发现，我们其实要比较的是两个 \(s(t)\) 和 \(r(t)\) 的波形的“相关”。所以，我们就提出了“相关接收机”！

相关接收机是这样工作的：它以一个个”符号”为单元进行接收。它先把接收符号 \(r(t)\) 和本地符号 \(s(t)\) 对齐，然后将它们相乘，然后沿着时间轴进行累积的积分。最后，在符号结束的时刻，比较两路的结果，选择最大的作为发送信号。详细的“相关接收机”的构造，请见课程 PPT。

我们下面做一个画图练习，画出相关接收机是如何工作的。这个练习非常重要。详见 PPT。

如这个练习所示，如果 \(r(t) = s(t)\)，那么，\(r(t) * s(t)\) 总是正值。因此，随着时间的增长，积分的结果会越来越大。结果是：在这个符号的末尾，获得正的最大值。而如果 \(r(t) = - s(t)\)，那么，\(r(t) * s(t)\) 总是负值。因此，随着时间的增长，积分的结果会越来越小。结果是：在这个符号的末尾，获得最小值。

因为相关接收机是一个一个符号进行相关接收的，所以，在一个符号接收、比较完后，我们要做“积分清零”：让后面的符号的相关、比较工作，重新开始。

因为“最小信号距离准则”是最佳接收机，所以，相关接收机是最佳接收机。请注意：我们在前几章学的是“相干接收机”和“非相干接收机”。我们印象很深的是，“相干接收机”的可靠性比“相关接收机”的可靠性要高。那么，现在怎么又冒出来一个相关接收机呢？而且，“相干接收机”不也是在本地用载波和接收信号 \(r(t)\) 相乘嘛，它和“相关接收机”的把 \(s(t)\) 和 \(r(t)\) 相乘有什么区别呢？为什么“相干接收机”不是最佳接收机，而“相关接收机”才是最佳接收呢？“相关接收机”的“最佳“来自哪呢？

相干接收机和相关接收机的区别是：相关接收机加了一个积分。看看我们刚才画的图，大家就有感觉。相干接收机在本地载波相乘后，低通滤波，然后做 SDR（取样-判决-重生），只看取样的那一个“点”。那么这个点如果正好碰巧被噪声或者干扰弄坏了呢？但相关接收机它是在相乘后，对整个符号周期内相乘的结果做积分。这样，它就综合了整个符号空间内的结果，结果是：即使中间有几个点被噪声或者干扰弄坏，总体上，它也还是能够反映到底是 \(s(t)\) 的哪个波形。

Quiz

下面是 Quiz：

画出二维平面上的二进制数字信号的发送和接收信号图示，解释该图示的物理意义
写出高斯噪声下，二进制数字信号的发送和接收的似然函数，解释其物理意义
基于上述得到的似然函数，证明ML准则等价于最小信号距离准则，即最小均方误差准则
什么是最小均方误差准则？请进行数学推导，证明其等价于 ML 准则
什么情况下，最小均方误差等价于最大相关？请数学推导证明
请写出相关接收机的判决方程，画出其框图，并解释每一个模块的作用。
请写出相关接收机的简化形式的判决方程，画出其框图，并解释每一个模块的作用。
为什么相关接收机要积分清零？
请画出M进制相关接收机的框图，并解释每一个模块的作用。

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