通信系统有效性和可靠性的基本公式

基于随机信号和高斯噪声的假设，香农建立了信息论，获得了关于通信系统有效性（信息速率、带宽、每比特信息消耗能量）和可靠性（信噪比、误码）的基本公式。

香农信道容量

首先，香农提出了信道容量的概念。信道容量是在一个信道里，无差错传输信息，最大能传输的信息速率。香农算出来，它符合下面的公式：

其中，\(C\) 是信道容量，\(S\) 是信号功率，\(n_0 \cdot B\) 是噪声功率，所以 \(\frac{S}{n_0 \cdot B}\) 就是信噪比。

上式说明，在带宽为 \(B\) 的一个信道上，因为噪声的影响，所以最大能够传的无差错的信息速率就是这么多了，不可能传得比它还快了。这是传输速率的上限。

从上面的式子，我们可以得到以下两个启发：

首先，如果噪声为 0 的话，\(C\) 就会无穷大。现在大家理解为什么噪声是我们的敌人了吧？因为如果没有噪声，就不需要我们这个通信工程的专业了，大家就使劲地传就完事了，没有速率限制。

其次，如果我们把带宽无限增长的话，\(C\) 会是多少呢？它会是无穷吗？因为噪声功率 \(n_0 \cdot B\) 里有 \(B\)，所以，当 \(B\) 很大的时候，噪声功率也很大。所以，当 \(B\) 趋向无穷的时候，\(C\) 就等于 \(S/N_0\) 乘上 \(log_2(e)\)，即 1.44，它不是无限的，而是有限的。

从中我们可以感受到香农信道容量公式的意义。

香农极限

我们下面讨论系统的功率利用率。我们引入一个新的变量，叫 \(E_b\)，就是单位比特信号的能量。这个数很重要。它越小的话，意味着我们传输单位比特所需要的能量越少，这样我们的功率利用率就越高。

因为信号平均功率 \(S = E_b \cdot R_b\)。假设我们现在就以信道容量 \(C\) 为传输速率往外发，即 \(R_b = C\)，此时，我们有 \(E_b/n_0\) = ln2 = 0.6931，或者说 -1.5dB。

这就是说，传输单位比特需要耗的能量，最少也要 \(0.6931 \cdot n_0\) 这么多。这就是香农极限。它反映的是系统的功率利用率。注意，这是在 \(B\) 已经无穷大的时候，就是我们已经把所有的带宽都给它。

香农极限很重要，因为大家都很关心系统的功率利用率。比如我们用手机，总是希望手机的电池能够多用一会吧？当我们发射一个卫星到天上，这个卫星它要靠电池板吸收能量，因此，这些能量都很宝贵。我们希望系统的功率利用率越高越好。

小结

香农给出的通信系统有效性和可靠性的基本公式，给我们很大启发。香农的工作让我们第一次认识到，通信是一个数学问题。因此，通信系统原理就诞生了。通信系统原理就是用数学的方法，来分析和设计通信系统。香农是通信系统原理的宗师。

Quiz

1. 请写出香农公式，它是关于什么的公式？
2. 根据香农公式，当噪声 \(n_0\)为 0 时（就是没有噪声时），会发生什么情况？
3. 根据香农公式，当B无穷大时，会发生什么情况？
4. 什么是香农极限？它有什么条件？