信号和噪声的随机模型

因为信号和噪声是通信系统研究的两个主要对象，所以我们首先建立信号和噪声的随机过程描述。

信号的平稳随机过程描述及其自相关函数

在通信原理中，我们分析随机变量和随机过程，特别是平稳随机过程。

首先，信源发送的信号是随机变量。正是因为我们接收端不能确定发送端会发送什么，我们才需要通信。因此，对于接收端来说，信源是随机的。比如，对于 2 进制离散信源，它有可能发 1 也有可能发 0。

然后，随机信号在通信系统中传输的过程是随机过程。比如，2 进制离散信源不断发出 1 或 0，它们在通信系统中传输，到达目的地，这个过程就是一个随机过程。此外，信号在传输中不断受到的“噪声信号”的影响，这一过程也是噪声的随机过程。

随机过程有一整套数学理论。我们讨论的是其中的一类特殊的随机过程：平稳随机过程，即：我们认为，我们发送的随机信号及其接受的噪声信号，在时间上都是平稳的。这符合真实通信系统中传输的信号和接受的噪声的特征。

一个最简单的模拟信源的例子，是一个载波发生器。因为它的初始相位是随机的，所以，它是一个相位随机的单音信号模拟信源。它是一个随机过程，可以被表示为：\(s(t) = cos(\omega t + \theta), \theta \in [0,2\pi]\)。

对上述随机过程，在任一个时刻，它的取值是一个随机变量。这个随机变量随着 \(\theta\) 的变化而变化，因此，我们可以求它相对于 \(\theta\) 的期望。我们可以得到这个均值是 0。这意味着这个期望是常数，它不随时间的变化而变化，所以，它的期望是平稳的。为此，我们说它是“一维”平稳的。

类似的，我们可以计算间隔时间为 \(\tau\) 的两个时刻的信号取值（它们是两个随机变量）的相关 \(E[XY]\)。我们会发现它只和这两个时刻的间隔时长有关，而和具体的时刻无关。为此，我们说它在“二维”上也是平稳的。我们并且把这个相关称为这个随机过程的“自相关函数”。

自相关函数对我们研究通信系统有重要的用途。首先，一个平稳随机过程的“自相关函数”在 \(\tau = 0\) 时，\(E[X^2]\) 就是它的平均功率。在 \(\tau = \infty\) 时，\(E[XY] = E[X]E[Y] = E[X]^2\)。因为 \(E[X]\) 是它的直流分量，所以 \(E[X]^2\) 就是它的直流功率。其次，对于一个平稳随机过程，它有确定的功率谱，而且，它的自相关函数的傅立叶变换，就是它的功率谱。这就是著名的维纳－辛钦定理。

有了平稳随机过程的功率谱，我们就可以在频域上对我们的通信系统进行分析了。

高斯白噪声和窄带高斯噪声的正交载波调制形式

信号在信道里传输，会被加上高斯白噪声。高斯白噪声是一个符合高斯分布的噪声，而且它的功率谱密度是常数：如果从负无穷到正无穷来算的话，它的值是 \(n_0/2\)，这个叫“双边功率谱密度”。如果从 0 到正无穷来算的话，它的值是 \(n_0\)，这个叫“单边功率谱密度”。

我们在接收端收到一个信号以后，一般会经过一个带宽是 \(B\) 的带通滤波器，把信号滤出来。这时，这个高斯白噪声也会被过滤得只剩下这个带通滤波器所在的这一块频率。此时的噪声功率就是 \(n_0 B\)。

如果这个滤波器的带宽相对于它的中心频率来说很小很小的话，比如我们听收音机，一个频点是 83.6MHz，它的带宽是 200K，这时带通滤波器的带宽相对于它的中心频率来说就很小很小。这时我们可以把它表示为 \(n_i(t) * cos(wt) - n_q(t) * sin(wt)\)。

其中，\(n_q(t)\) 和 \(n_i(t)\) 是正交的，它们的相关系数是 0。它们都是平稳高斯过程，均值为 0，方差是\(n_0 B\)。

小结

我们建立了信号和噪声的基本模型。它们会在我们后面的通信系统的建模和分析中被用到。下面是这部分的 Quiz，供大家复习。

Quiz

信号自相关函数和功率谱

  1. 宽度为t的脉冲，它的频谱的第一个过零点在哪？有效带宽是？
  2. 请画出抽样函数 Sa(t) = sin(t)/t 的频谱
  3. 请写出能量信号的自相关函数的计算公式
  4. 能量信号的自相关函数，当t等于0时，为信号的什么？
  5. 请写出功率信号的自相关函数的计算公式
  6. 功率信号的自相关函数，当t等于0时，为信号的平均功率，这句话对吗？
  7. 功率信号的自相关函数和它的功率谱密度函数，是什么关系？
  8. 简述帕氏定理

随机变量统计特征

  1. 随机变量的均方值等于它的方差，加均值的平方，这句话对吗？
  2. 请写出高斯分布的概率积分函数形式。它和Q函数的关系是？
  3. 请写出误差函数 erf(x) 和互补误差函数 erfc(x) 的数学形式。它们和Q函数的关系是？
  4. 请写出二维随机变量的相关函数，协方差，相关系数的公式
  5. 二维随机变量的相关函数，协方差，变量期望，这三者的关系是？
  6. 请分别给出两个随机变量：独立、不相关、正交的数学定义
  7. 如果两个随机变量相互独立，那么它们不相关？
  8. 如果两个随机变量相关，那么它们不独立？
  9. 如果两个随机变量不相关，那么它们相互独立？
  10. 请写出二维随机变量的联合高斯分布的公式
  11. 如何证明符合二维联合高斯分布的变量，它们不相关，则独立
  12. 已知随机变量x的概率密度函数，如何计算它的函数 f(x) 的概率密度函数

随机过程

  1. “随机过程”的英文是？
  2. 请写出“相位在-pi到pi范围内均匀随机分布的余弦信号”的数学表达式。它是一个随机过程，为什么？
  3. 请写出上述随机过程的一个样本函数的公式，一个随机变量的公式
  4. 请计算上述随机过程的一维统计特征：均值，方差，均方值
  5. 你计算出的均方值，物理意义是什么？它和均值、方差有什么关系？方差的物理意义是什么？均值的平方的物理意义是什么？
  6. 请写出上述随机过程的二维统计特征：自相关

平稳随机过程

  1. 请写出随机过程严平稳的数学定义公式，并解释其含义
  2. 请写出随机过程广义平稳的数学定义公式，并解释其含义
  3. 什么是随机过程的一维平稳？二维平稳？
  4. 如何证明随机过程广义平稳？
  5. 为什么证明随机过程的广义平稳，不需要证明其方差和均方值与时间无关？
  6. “相位在-pi到pi范围内均匀随机分布的余弦信号”是广义平稳的吗？如何证明？
  7. 记平稳过程的自相关函数为 R(t)。请写出它的统计平均功率，直流功率，交流功率
  8. 根据什么定理，我们知道随机过程的自相关函数和其功率谱是傅里叶变换和反变换的关系？
  9. 平稳过程的自相关函数 R(t)=cos(t)，请画出它的功率谱
  10. 平稳过程的自相关函数 \(R(t)=Sa^2(t)\)，请画出它的功率谱

遍历随机过程

  1. 请证明，平稳过程的一个样本函数的时间平均 \(m_x(T)\) 是随机过程的统计平均 \(m_x\) 的无偏估计
  2. 请写出随机过程均值遍历的数学定义公式，并解释其含义
  3. 请写出随机过程自相关函数遍历的数学定义公式，并解释其含义
  4. 上述两个公式意味着遍历随机过程一定平稳，为什么？
  5. 什么是随机过程的遍历性（各态历经性）？
  6. 平稳随机过程一定遍历？
  7. “相位在 \(-\pi\) 到 \(pi\) 范围内均匀随机分布的余弦信号”是遍历的吗？如何证明？
  8. 平稳过程通过线性系统还是平稳过程？其均值、自相关函数、功率谱如何变化？
  9. 线性系统的直流传递系数 H(0) 如何计算？
  10. 请写出“平稳过程 X(t) 与余弦随机过程的混合信号“的数学表达式。它是平稳的吗？如果是，请证明，并写出其功率谱的数学表达式。

高斯噪声分析

  1. 如果两个高斯过程互不相关，那么它们也相互独立，为什么？
  2. 如果一个高斯过程是宽平稳的，那么它就也是严平稳的，为什么？
  3. 高斯噪声的均值是？它是平稳的吗？它是遍历的吗？
  4. 什么是白噪声？热噪声是白噪声吗？温度升高，热噪声的功率谱会如何变化？
  5. 请写出高斯白噪声的自相关函数和功率谱的数学形式，并画图
  6. 什么是窄带高斯噪声？请写出窄带高斯噪声的两种数学表达式，并说明其中四个分量的物理意义
  7. 请写出窄带高斯噪声、其同相分量和正交分量的概率密度函数、直流功率、交流功率
  8. 窄带高斯噪声的包络分量与相位分量符合什么分布？请画出这两个分布的基本形状
  9. 高频载波加窄带高斯噪声，一般为什么分布？何时可以被近似为高斯分布？何时可以被近似为瑞利分布？为什么？

高斯白噪声

  1. 什么是高斯噪声？什么是高速白噪声？请写出高速白噪声的功率谱密度函数和自相关函数
  2. n_0是高斯白噪声的单边带功率谱密度，还是双边带功率谱密度？
  3. 什么是AWGN？


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