量化

本节我们学习量化方法。

模拟值的取值是连续的，有无穷多个值，因此，它不能用有限个 bit 传输。

如果我们想用有限个 bit 传输一个值的话，必须把一个模拟的连续值的取值进行“有限化”，也就是把它的幅度进行离散化。这就是“量化”。

请大家首先熟悉量化相关的各种定义：

\(L\)：量化级数，就是我们要多少个“值”。

\(m\)：判决电平，它们划定了量化区间。

\(\Delta\)：量化间隔。

\(v\)：量化电平，它是一个量化区间内所有值的代表值。这就是说：原始信号在一个量化区间内的所有取值，在接收端都由这个值代表。

量化噪声

大家看 PPT 上的示例：发送端的这个连续曲线的波形，到了接收端，就变成这种台阶一样的波形了。它们的不同（差别），就是”误差“。这个“误差”像“噪声”那样，会给我们理解原信号带来不利的影响，所以，我们称它为“量化噪声”。

“量化噪声”会降低系统的可靠性，对吧？系统的可靠性可以用什么来衡量？信噪比，对吧？所以，我们下面来计算有量化噪声影响的信号的信噪比。信号功率好求，因此，我们下面计算量化噪声的功率。

怎么算量化噪声的功率呢？我们先简单一点，假设噪声在 [\(-\Delta/2, \Delta/2\)] 内均匀分布。此时，噪声的均值为 0，方差为 \(\Delta^2/12\)。由此，我们就可以求出信噪比。

我们通过数学变换，可以获得信噪比和比特数 \(r = log_2L\) 的关系。比如正弦信号，我们可以得到信噪比是 \(1.8 + 6r\) (dB)，这意味着，如果我们多用一个比特来表示量化后的信号，信噪比就能够增加 6dB。这意味着可靠性增加了，但我们要传输的比特数也增加了，这相当于系统的有效性下降了。大家要会进行这样的分析。

为了方便计算，我们还引入了各种信号的波形因子。请大家学习和练习 PPT 上的内容，确保掌握。

最优量化器设计的 Lloyd-Max 算法

大家想想，如果信号的取值不均匀，比如语音信号，它的取值集中在幅度比较小的区域。此时，如果我们对这些小的区域，用比较窄的量化间隔，是不是它们的量化噪声就比较小一些，这样，整个信号的总量化噪声，就会比较小一些？这就是“非均匀量化”。

如何设计“非均匀量化”？大家发现没，我们就是要设计 \(m\) 和 \(v\)。

我们先看如何设计 \(v\)：假设我们已知两个 \(m\) 确定的一个量化区间，大家想想，我们用一个什么值做 \(v\)，来代表这个区间的各种值？我们学习大学物理的时候，学过一个什么东西，可以用到这？

大家看这根粉笔。它一头小，一头大，我用我的手指托着它，我的手指放到哪个位置，它会保持平衡？放到它的“重心”，对不对？

类似的，大家想想，已知两个 \(m\) 确定的量化区间，我们用它的重心的值做 \(v\)，来代表这个区间的各种值，是不是比较好？这就是已知 \(m\)，确定 \(v\) 的方法。

我们下面看如何设计 \(m\)：假设我们已经知道了两个相邻的 \(v\)，那么，对于它们之间的一个值 \(x\)，我怎么决定它应该由哪个 \(v\) 代表？是不是离哪个 \(v\) 近，就由谁代表，这样误差最小？所以，它们之间的判决电平 \(m\) 应该就是这两个 \(v\) 的中点，对吧？

这就是我们的前辈 Lloyd-Max 发明的方法：我们先初始化 \(v\)，按上面的方法，用它们的中点作为 \(m\)；然后基于 \(m\)，用它们确定的区间的重心作为 \(v\)；然后再基于这些 \(v\)，用它们的中点作为 \(m\)；…，就这样一直交替迭代，直到 \(v\) 和 \(m\) 都不怎么变了，就停下来。

最优量化器设计模型

Lloyd-Max 算法是如何设计出来的呢？我们下面介绍它的设计过程：

我们首先写出它的优化方程：优化的目标是最小化“量化噪声的均方值”。这是我们做优化时的一个常用目标。大家还记得我们做最佳接收机的时候，有一个“最小均分误差准则”吗？也是用的这个优化目标。事实上，这是机器学习里做“回归”问题常用的一个目标函数。大家先留意一下，以后会再碰到。

我们然后设计优化方法：我们注意到，我们的优化问题，既要调节 \(m\) 又要调节 \(v\)，使目标函数最小。这在机器学习里，常用交替迭代的方法来解决。就是说，首先固定 \(m\)，优化 \(v\)；再固定 \(v\)，优化 \(m\)。这样循环往复，直到 \(m\) 和 \(v\) 都达到一个稳定的值。这样就把问题简化了。

我们下面就具体进行这两步的设计。

我们首先设计，已知两个相邻的 \(v\)，如何确定它们中间的最优判决门限 \(m\)。请大家看 PPT 中此时的优化方程。如 PPT 所示，对一个模拟量 \(x\)，它和哪个 \(v\) 最近，我们就用哪个 \(v\) 代表它，这样的量化噪声最小。这就是“最近邻条件”。这就相当于，我们取两个 \(v\) 的平均值作为的判决门限 \(m\)，对吧？

我们然后设计，已知两个相邻的 \(m\)，如何确定它们确定的这个区域的最优量化电平 \(v\)。请大家看 PPT 中此时的优化方程，如 PPT 所示，我们此时利用高等数学求极值的方法，对目标函数对 \(v\) 求导，得到它取极小值的 \(v\)。大家看这个公式，是不是就是我们大学物理里学过的“重心”的公式？

这个算法怎么样，神吧？以后大家学习机器学习和人工智能的课程时，会发现类似的交替迭代算法，比如用来做聚类的 K-Means 算法，非常有意思。所以，我们通信中的很多算法和人工智能的算法是相通的。

下面是 Quiz：

  1. 为什么可以量化？
  2. 什么叫量化级数、量化电平、量化间隔、判决电平、量化区间、量化噪声？
  3. 什么叫均匀量化器，什么叫非均匀量化器？
  4. 什么叫中平特性，什么叫中升特性？
  5. 量化噪声的期望一般是多少？
  6. 如何求量化噪声的平均功率？
  7. 均匀量化，量化噪声均匀分布时，其平均功率是？
  8. 什么是信号波形的波形因子？均匀量化，量化噪声均匀分布时，量化信噪比和它是什么关系？和量化编码的位数又是什么关系？
  9. 什么是最优量化器？当信号中的小信号远多于大信号时，应该如何量化？为什么？
  10. 写出量化器设计最优化问题的数学表达式，解释其每一个符号的物理意义
  11. 简述量化器最优设计的迭代优化方法。


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