模拟角度调制

和幅度调制并列的，是角度调制。它通过调节载波的“角度”（就是“相位”），来传递信息。

角度调制包括调频和调相。其中用得最广的是频率调制。顾名思义，频率调制就是用要传送的信号 \(m(t)\) 来控制载波的频率。因此，频率调制发出的信号的频谱，就不像幅度调制那样，是 \(m(t)\) 的简单线性搬移了。

频率调制的一种实现方法，就是用 \(m(t)\) 控制压控振荡器，让振荡器的频率随着 \(m(t)\) 的电压变化而变化，由此产生输出信号；那接收端怎么解调呢？用“鉴频器”。鉴频器的输出电压会随着输入信号的频率变化而变化，这样就把 \(m(t)\) 恢复出来了。

相对于幅度调制来说，角度调制的抗干扰能力要强。这是为什么呢？因为噪声和干扰经常把我们收到的信号的幅度给搞得乱七八糟的，但它们对信号的频率影响不是特别大，因此我们的输出信噪比会比较大。这就是为什么大家听 FM 收音机比听 AM 收音机时，感觉声音要清楚的原因的。FM 就是调频。

FM 有效性

我们首先分析 FM 的有效性：获得它的信号带宽。

我们用一个简单的情况来进行频率调制的数学分析：假设 \(m(t) = A_m cos(\omega t)\)，即它是一个 cos 的单音信号，它的频率是 \(\omega\)。我们用它来控制载波的频率的话，相当于用它的积分，来控制载波的相位相移。因此，我们调制后的信号就有这样的形式：\(cos(\omega_0 t + \beta sin(\omega t))\)，其中 \(\beta = \frac{k_{FM} A_m}{\omega}\)。因此，它是 \(\omega\) 的倒数，即 \(\omega\) 大的时候，它会变小。

为了描述频率调制信号，我们引入两个概念：最大频偏和最大相偏。观察 \(cos(\omega_0 t + \beta sin(\omega t))\) 这个式子，我们就能发现：\(\beta\) 即调制后的信号的最大相偏，而最大频偏就是 \(\omega \times \beta\)。

我们下面来计算上述调制后信号的带宽。数学家贝塞尔研究过 \(cos(\omega_0 t + \beta sin\omega t)\) 这种形式的数学方程，他说它能分解为很多离散谱线 \(\omega_0 + n \omega\)，而且这些谱线的幅度符合他提出的“贝塞尔曲线函数”。这就是说，一个单音信号的调频信号的频谱是很多离散的谱线。

基于贝塞尔函数，我们可以得到单音信号的调频信号的带宽，这就是著名的“卡森公式”：\(2 (1+\beta) \omega\)。

观察卡森公式所示的 FM 信号的带宽，我们可以得到一个很重要的观察：它的带宽不随调制信号 \(m(t)\) 的频率 \(\omega\) 的变化而变化。具体来说，当 \(\beta\) 很大时，\(2 (1+\beta) \omega\) 可以近似为 \(2 \beta \omega\)。 因为 \(\beta\) 是 \(\omega\) 的倒数，所以，\(2 \beta \omega\) 不会随着 \(\omega\) 的变化而变化。这意味着 FM 的带宽不随着输入信号的频率变化而变化。因此，我们说 FM 的带宽是”稳定”的。这是一个很好的特性。我们当然不希望我们调制出来的信号的带宽随着我们的输入信号的频率变化而变化。如果是这样的话，我们的系统设计起来就麻烦了。因为 FM 的这个性质，它在实际中应用非常广泛。

FM 广播信号产生方法

FM 广播至今都应用非常广泛，因此，我们要熟悉FM 广播信号产生的具体办法。

首先，我们介绍两个概念：窄带 FM 和宽带 FM。窄带 FM 的 \(\beta\) 比较小，因此它的频率变化的动态范围也比较小，因此比较好实现；而宽带 FM 的 \(\beta\) 比较大，因此它的频率变化的动态范围也比较大，因此对器件的要求比较高，不好实现。

为此，FM 的广播信号采用了多级调制的方法。具体来说，它首先对 \(m(t)\) 做一个窄带 FM，然后对它做倍频、混频（乘以载波），再倍频。其中每次倍频，都会达到把频率变化的动态范围也加倍的效果，就相当于 \(\beta\) 也加倍了，这样就获得了 \(\beta\) 很大的宽带 FM 了。

目前，88 兆到 108兆 Hz 是 FM 广播的频段，能够发送的 \(m(t)\) 信号的最大频率是 15K Hz，\(\beta\) = 5，因此最大频偏 75 Hz。根据卡森公式，其带宽为 2 (1+5) 15 = 180K Hz。在实际中，我们在两边还留有一定的间隙，因此给每个频道分配 200k Hz 带宽。

FM 非相干解调

宽带 FM 的非相干解调是利用一个微分器，把 \(m(t)\) 变到信号的幅度上，然后用包络检波来提取它。

FM 的非相干解调的输出噪声功率谱的分布不均匀。为了计算输出噪声功率，我们假设\(m(t)\) = 0，然后计算此时信号经过微分、包络检波后的输出噪声功率。因为微分器的存在，所以该输出噪声功率的功率谱不再是常数，而是随着频率的增加而增加，因此，输出信噪比也随着频率的增加而增加。这导致 \(m(t)\) 中的高频分量的信噪比更低，导致我们感受到的声音失真。

为此，我们采用预加重和去加重技术。具体来说，我们在接收端解调器的输出处，加“去加重”滤波器，把高频处比较高的输出噪声功率谱“熨平”，但这又会导致 \(m(t)\) 的高频分量也被我们“熨平”了，即：高频信号被压低，所以，我们在发送端，在调制前，先对 \(m(t)\) 进行“预加重”，把 \(m(t)\) 的高频分量提高，这样，在接收端做“去加重”的时候，再被压低，就恢复正常了。

因为上述方法是“包络检波”，所以，它也有类似 AM 的“门限效应”。这个门限是 10个 dB 左右。预加重/去加重技术能够改善 FM 系统的门限效应，将门限降低。

FM 可靠性

非相干解调 FM 的信噪比增益是 \(3 \beta^2 (\beta + 1)\)。这个信噪比增益就非常大了，比如 FM 广播的 \(\beta\) 是 5，那么它的信噪比增益就到了 3 * 25 * 6 = 450。这就非常大了。要知道，DSB 的信噪比增益才 2，SSB 才 1。当 \(\beta\) 很大的时候（比如大于 10），为了计算简单，我们可以把它近似为 \(3 \beta^3\)。

FM 的特别大的信噪比增益带来很多好处。首先，它的发送功率不用很高，然后，我们听得也特别清楚。这就是 FM 至今是一种很主流的调制方式的原因。这是阿姆斯特朗发明的啊。这是我们通信工程的一个骄傲。这就是创造力。所以当年的这些人都是现在的马斯克这种人，非常值得学习。这就是学习通信原理的妙处。

FM 小结

\(\beta\) 是把 FM 所有相关知识穿起来的钥匙。大家发现没有，FM 的带宽、信噪比增益，都只和 \(\beta\) 相关。所以，\(\beta\) 是我们把 FM 的相关知识穿起来的钥匙。任何 FM 问题，大家首先要做的第一件事，就是找它的 \(\beta\)。找到 \(\beta\)，就一切都迎刃而解了。所以，找 \(\beta\) 是关键。

模拟调制小结

我们重点介绍了幅度调制和频率调制两种模拟通信系统的模型。对模拟调制，请抓住两点：有效性，就是它的带宽和功率利用率；可靠性，就是它的信噪比增益。在这个大的脉络下，请掌握 PPT 和课本中的各项细节，然后多做题，达到熟练的程度。在这个过程中，可能还需要复习一下信号和系统的内容。Enjoy！

下面是 Quiz：

Quiz

非线性调制（角度调制）

  1. 幅度调制的缺点是？
  2. 相对于幅度调制，角度调制的优点是？
  3. 角度调制是线性还是非线性调制？为什么？
  4. 分别写出相位调制和频率调制的数学表达式、最大相移、最大频移。
  5. 单音调制时，调相和调频中，谁的最大频偏与调制信号的频率无关？这有什么好处？
  6. 单音调制时，调相和调频中，谁的最大相移为常数？
  7. 单音调制时，调频/调相指数 \beta ，等于最大相移，还是等于最大频移。为什么？它随调制信号的幅度变化而变化吗？随调制信号的频率变化而变化吗？
  8. 何谓窄带调角？何谓宽带调角？
  9. 窄带调角的信号带宽，比DSB调制的信号带宽，宽，窄，还是相等？
  10. 窄带调角的频谱和调制信号的频谱，是线性关系吗？
  11. 单音宽带FM的频谱包括哪些分量？请写出其时域和频域的数学表达式，并画出频谱图
  12. 为什么单音宽带FM的信号功率等于其载波功率？请数学证明
  13. 当 调频/调相指数 \beta 变化时，宽带调角信号的总功率变化吗？功率分布变化吗？
  14. 请写出Carson公式，并解释其物理意义
  15. 请比较 \beta 等于 1. 1. 6 时，宽带角度调制的调制效率。
  16. 当 调频/调相指数 \beta 变化时，宽带调角信号的带宽变化吗？当调制信号的幅度变化时，带宽变化吗？请证明
  17. 为什么实际中，调频比调相广泛得多？
  18. 什么是直接调频，什么是间接调频？
  19. 什么是直接调相，什么是间接调相？
  20. 什么是直接法宽带调频，什么是间接法宽带调频？请比较它们的优缺点
  21. 请画出FM广播的调制器框图。它的第一级的 \beta 等于多少？为什么第一级是窄带调频？如何确定两级的倍频倍数？
  22. 简述频分复用的原理
  23. 立体声FM收音机是如何设计，以支持单声道收音机的？

角度调制系统的解调

  1. 角度调制系统的解调有哪两种方法？其中哪种应用更广泛？为什么？
  2. 画出窄带调频信号相干解调的框图。它的G是多少？
  3. 画出调频信号非相干解调的框图。它的G是多少？可以被近似为多少？近似条件是？
  4. 请画出窄带调频信号非相干解调时，其输出噪声功率谱的形状。它还是均匀分布的吗？
  5. 调相信号相干和非相干解调的G分别是多少？可以被近似为多少？近似条件是？
  6. 比较幅度调制和角度调制的G，说明角度调制的调制性能。
  7. 非相干解调时会出现的”门限效应“是什么？它是由什么引起的？用什么方法克服？
  8. 什么叫”预加重、去加重“技术？请画出采取该技术的通信系统框图，并解释其原理


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